Como se muestra en este video de Lemnismath, la relación entre el arte y las matemáticas es un vínculo que se remonta a miles de años atrás. Entre todas las disciplinas artísticas, la música destaca por tener raíces puramente matemáticas. Las notas musicales han sido determinadas a lo largo de la historia buscando agradar al oído humano mediante relaciones numéricas. Pero para comprender la música actual y su relación con las matemáticas, es necesario emprender un viaje a través del desarrollo matemático y físico del sonido.
Desde la antigüedad, pensadores y matemáticos como Pitágoras ya exploraban las relaciones entre las matemáticas y la música. Pitágoras descubrió que las proporciones aritméticas simples generaban los intervalos musicales más agradables para el oído humano. Estas proporciones fundamentales, como la razón 2:1 para la octava, o 3:2 para la quinta, siguen siendo la base de la teoría musical contemporánea.
El sonido en sí mismo es una onda que viaja a través del aire y puede ser descrito matemáticamente por medio de funciones sinusoidales y cosinusoidales. La frecuencia, amplitud y fase de estas funciones determinan las características del sonido, como su tono, su timbre o el volumen.
La música también puede analizarse desde el punto de vista de la teoría de conjuntos, la geometría, la topología y otras áreas de las matemáticas. La teoría de conjuntos, por ejemplo, se emplea para estudiar las escalas y acordes, mientras que la geometría y la topología pueden ayudar a comprender la estructura y la forma de una pieza musical.
La relación entre la música y las matemáticas también se manifiesta en el ritmo y la métrica. Los patrones rítmicos y las estructuras de tiempo en la música siguen principios matemáticos y proporcionan un marco ordenado para organizar los sonidos en el tiempo.
La música es una manifestación artística cuyas raíces están profundamente arraigadas en las matemáticas. A lo largo de la historia, el desarrollo matemático y físico del sonido ha influido en la evolución de la música y en la manera en que ésta es creada, interpretada o apreciada. Desde las proporciones fundamentales descubiertas por Pitágoras hasta las aplicaciones modernas de la teoría de conjuntos y la geometría en la teoría musical, la relación entre la música y las matemáticas es un vínculo fascinante y muy enriquecedor para el mundo del arte.
Una onda de sonido puro se representa mediante una función sinusoidal, donde solo hay dos parámetros que podemos hacer variar: la amplitud de la onda, que cambia el volumen del sonido, y la frecuencia de la onda, que cambia el tono del sonido, desde graves a agudos. Sin embargo, esto no encaja del todo con la realidad, ya que, por ejemplo, al tocar una guitarra, no se produce un sonido puro. Existe algo más que ocurre en la cuerda, y los físicos lo han estudiado.
Resulta que una cuerda tensa fija por los extremos no puede vibrar libremente, ya que sus extremos siempre están quietos. Esto hace que la cuerda solo pueda vibrar de ciertas maneras determinadas, conocidas como armónicos. Hay muchos armónicos: el primero se denomina armónico fundamental y es muy intuitivo, con la cuerda moviéndose hacia arriba y hacia abajo sin misterio. El segundo es un poco más complicado, con dos crestas subiendo y bajando; el tercero tiene tres, y así sucesivamente. Uno puede hacer vibrar los armónicos de una cuerda en casa y, de hecho, es algo interesante para impresionar a las visitas.
La propiedad matemática más interesante de los armónicos es que si el primero vibra a una cierta frecuencia, el segundo vibra al doble de frecuencia, el tercero al triple y así sucesivamente. Volviendo a la guitarra, cuando tocamos una cuerda, estamos haciendo vibrar todos sus armónicos a la vez, pero cada uno con una amplitud distinta, es decir, suenan todos los armónicos, cada uno a un volumen diferente. Cuando la mezcla de estos armónicos llega al oído, nos suena como una guitarra, lo cual resulta agradable y fascinante.
Aunque una onda de sonido puro se represente mediante una función sinusoidal con solo dos parámetros, la realidad es más compleja. Al tocar un instrumento como la guitarra, se producen una serie de armónicos que vibran a múltiplos de la frecuencia fundamental, cada uno con su propia amplitud. Esta combinación de armónicos es lo que nos da el sonido característico de la guitarra y nos permite apreciar la riqueza y complejidad de la música en nuestra vida cotidiana.
Los antiguos griegos ya observaron que al reducir el tamaño de una cuerda a la mitad, el sonido resultante encajaba muy bien con la nota original. Al observar los armónicos, rápidamente se entiende por qué: ambas notas tienen muchos armónicos en común. En realidad, estamos escuchando los mismos sonidos simples en ambas situaciones, sin introducir sonidos desconocidos en la nueva nota.
Esta teoría sonora también funciona a la inversa: si dos notas no tienen armónicos en común, tendrán sonidos disonantes. Y, aprovechando que tenemos los armónicos a la vista, un punto importante es que dividir la longitud de la cuerda por 2 es lo mismo que multiplicar la frecuencia del sonido por 2. Las notas que se crean con este método se denominan octavas y son la pieza clave de la teoría musical. Podemos crear todas las octavas que queramos al multiplicar y dividir la longitud de una cuerda por 2, o haciendo lo mismo con la frecuencia.
Como se explica en el video, según el enfoque de los armónicos, el inconveniente de las octavas es que se unen de una manera tan perfecta que no aportan riqueza musical. Es decir, son sonidos tan parecidos entre sí que se consideran la misma nota, pero en distintas octavas. Por lo tanto, se necesita otra forma más original de generar notas.
Una opción sería partir la cuerda con otra relación numérica sencilla, como 2/3. Al hacer esto, las notas resultantes tendrán una relación diferente, lo que puede generar nuevos sonidos e intervalos interesantes. Por ejemplo, si dividimos la longitud de la cuerda en una relación de 2:3, obtenemos un intervalo llamado quinta, que es otro intervalo fundamental en la teoría musical. La quinta es un intervalo más rico y menos consonante que la octava, lo que contribuye a la variedad y a la complejidad de la música.
Experimentando con otras proporciones simples, los músicos y teóricos pueden descubrir y explorar una amplia gama de intervalos y escalas, lo que lleva a una mayor riqueza y a una mayor diversidad en la música. Al combinar diferentes proporciones y relaciones numéricas en la creación de notas e intervalos, se logra un mayor grado de expresividad y sofisticación en el arte, en la guitarra y en la música en general.
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